5sin^2x+2sin x -7=0

Для решения уравнения $5{\sin }^{2}x+2\sin x-7=0$ воспользуемся методом введения новой переменной. 1. Замена переменной Пусть $t=\sin x$. Учитывая область значений функции синуса, на переменную накладывается ограничение: $\left|t\right|\le 1$, то есть $t\in [-1;1]$. 2. Решение квадратного уравнения После замены получаем квадратное уравнение относительно $t$: $5t^2+2t-7=0$Найдем дискриминант по формуле $D=b^2-4ac$: $D=2^2-4\cdot 5\cdot \left(-7\right)=4+140=144$ $\sqrt{D}=12$ Находим корни уравнения $t=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$ :

• $t_1=\frac{-2+12}{2\cdot 5}=\frac{10}{10}=1$ $t_2=\frac{-2-12}{2\cdot 5}=\frac{-14}{10}=-1.4$

3. Проверка ограничений

• $t_1=1$ — входит в промежуток $[-1;1]$, подходит. $t_2=-1.4$ — не входит в промежуток $[-1;1]$, так как синус не может быть меньше $-1$. Этот корень не имеет решений в действительных числах.

4. Обратная замена Возвращаемся к переменной $x$: $\sin x=1$ Это частный случай тригонометрического уравнения. Значение синуса равно $1$ в верхней точке единичной окружности. $x=\frac{\pi }{2}+2\pi n$ , где $n\in \mathbb{Z}$ (целое число). Ответ: $x=\frac{\pi }{2}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}$ . Требуется ли вам произвести отбор корней для конкретного числового промежутка?