Найдите значение производной функции y=ln (2-x) в точке x₀=-1

Для нахождения значения производной функции $y=\ln (2-x)$ в точке $x_0=-1$ воспользуемся правилами дифференцирования сложной функции. 1. Нахождение общей производной Функция представляет собой композицию логарифмической функции и линейного выражения. Формула производной для $y=\ln \left(u\right)$ имеет вид: $y^{\prime }=\frac{1}{u}\cdot u^{\prime }$ В данном случае $u=2-x$. Применим формулу:

1. Производная внешней функции (логарифма): $\frac{1}{2-x}$ Производная внутренней функции ( $2-x$): $(2-x{)}^{\prime }=0-1=-1$

Собираем производную воедино: $y^{\prime }=\frac{1}{2-x}\cdot \left(-1\right)=-\frac{1}{2-x}$ Для удобства вычислений можно избавиться от минуса перед дробью, изменив знаки в знаменателе: $y^{\prime }=\frac{1}{x-2}$ 2. Вычисление значения в точке $x_0=-1$ Подставим заданное значение $x$ в полученное выражение для производной: $y^{\prime }\left(-1\right)=\frac{1}{-1-2}$ $y^{\prime }\left(-1\right)=\frac{1}{-3}$ $y^{\prime }\left(-1\right)=-\frac{1}{3}$ Ответ: Значение производной в точке $x_0=-1$ равно $-\frac{1}{3}$ (или $\approx -0,33$ в десятичном виде). Я могу помочь вам с решением аналогичных задач на производные или провести исследование этой функции на экстремумы. Хотите, чтобы я нашел область определения этой функции?