Докажите, что если диагонали прямоугольника перпендикулярны, то он является квадратом.

Для доказательства того, что прямоугольник с перпендикулярными диагоналями является квадратом, воспользуемся свойствами четырехугольников и признаками равенства треугольников. Дано:

1. ABCD — прямоугольник.
2. AC и BD — диагонали.
3. $AC⟂BD$ (диагонали пересекаются под прямым углом в точке O).

Доказать:

• ABCD — квадрат.

Доказательство: 1. Свойства диагоналей прямоугольника По определению и свойствам прямоугольника:

• Диагонали прямоугольника равны: $AC=BD$. Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам:
  $AO=OC=BO=OD$Следовательно, точка O является серединой обеих диагоналей.

2. Рассмотрение треугольников Рассмотрим два смежных треугольника, образованных пересечением диагоналей, например, $△AOB$ и $△BOC$:

• Сторона OB — общая.
• $AO=OC$ (так как точка O — середина диагонали AC). $\angle AOB=\angle BOC={90}^{\circ }$ (по условию перпендикулярности диагоналей).

3. Равенство треугольников Треугольники $△AOB$ и $△BOC$ равны по двум катетам (первый признак равенства прямоугольных треугольников). Из равенства треугольников следует равенство их гипотенуз: $AB=BC$4. Вывод

• В прямоугольнике противоположные стороны равны по определению ( $AB=CD$ и $BC=AD$). Мы доказали, что смежные стороны также равны ( $AB=BC$). Следовательно, все стороны прямоугольника равны между собой:
  $AB=BC=CD=DA$

Геометрическое определение: Прямоугольник, у которого все стороны равны, является квадратом. Альтернативный способ (через свойства ромба): Параллелограмм, диагонали которого перпендикулярны, является ромбом. Поскольку прямоугольник является частным случаем параллелограмма, прямоугольник с перпендикулярными диагоналями — это ромб. Фигура, которая одновременно является и прямоугольником (все углы ${90}^{\circ }$), и ромбом (все стороны равны), называется квадратом. Что и требовалось доказать. Я могу составить для вас аналогичное доказательство для других свойств четырехугольников, например, доказать, что если в ромбе диагонали равны, то он является квадратом. Хотите продолжить?