Докажите что если медиана треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный .

Для доказательства этого утверждения рассмотрим произвольный треугольник $△ABC$, в котором проведена медиана $BD$ к стороне $AC$. По условию задачи эта медиана также является высотой. Дано:

• $△ABC$ — произвольный треугольник. $BD$ — медиана (следовательно, $AD=DC$). $BD$ — высота (следовательно, $BD⟂AC$, то есть $\angle ADB=\angle CDB={90}^{\circ }$).

Доказать:

• $△ABC$ — равнобедренный ( $AB=BC$).

Доказательство: Рассмотрим два прямоугольных треугольника, образованных высотой: $△ABD$ и $△CBD$.

1. Общая сторона: Сторона $BD$ является общей для обоих треугольников. Равенство катетов: Так как $BD$ — медиана по условию, точка $D$ является серединой отрезка $AC$. Следовательно, $AD=DC$. Равенство углов: Так как $BD$ — высота, углы при вершине $D$ прямые: $\angle ADB=\angle CDB={90}^{\circ }$.

Исходя из этих данных, треугольники $△ABD$ и $△CBD$ равны по двум катетам (или по первому признаку равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников ( $△ABD=△CBD$) следует равенство их соответствующих сторон: $AB=BC$По определению, если в треугольнике две стороны равны, то такой треугольник является равнобедренным. Вывод: Поскольку медиана, являющаяся высотой, делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника, боковые стороны исходного треугольника равны между собой. Утверждение доказано. Я могу также помочь вам с доказательством обратного утверждения или разобрать свойства биссектрисы в равнобедренном треугольнике. Хотите продолжить?