Через точку о, лежащую между параллельными плоскостями α и β, проведены прямые l и m. прямая l пересекает плоскости α и β в точках а1 и а2 соответственно, прямая m – в точках в1 и в2. найдите длину отрезка а2в2, если а1в1 = 12 см, в1о : ов2 = 3 : 4.

Question

Через точку о, лежащую между параллельными плоскостями α и β, проведены прямые l и m. прямая l пересекает плоскости α и β в точках а1 и а2 соответственно, прямая m – в точках в1 и в2. найдите длину отрезка а2в2, если а1в1 = 12 см, в1о : ов2 = 3 : 4.

Sergey_64 26.01.2026 18:45

Ответы и вопросы пользователей

Смирнов Алексей Владимирович · Accepted Answer

Длина отрезка $A_{2} B_{2} cap A sub 2 cap B sub 2$ составляет 16 см. Шаг 1: Обоснование параллельности отрезков Прямые $l l$ и $m m$ пересекаются в точке $O cap O$ , следовательно, они задают единственную плоскость $γ gamma$ . Плоскости $α alpha$ и $β beta$ параллельны по условию. Отрезки $A_{1} B_{1} cap A sub 1 cap B sub 1$ и $A_{2} B_{2} cap A sub 2 cap B sub 2$ являются линиями пересечения плоскости $γ gamma$ с параллельными плоскостями $α alpha$ и $β beta$ . По свойству параллельных плоскостей, линии их пересечения третьей плоскостью параллельны, следовательно, $A_{1} B_{1} ∥ A_{2} B_{2} cap A sub 1 cap B sub 1 is parallel to cap A sub 2 cap B sub 2$ . Шаг 2: Установление подобия треугольников Рассмотрим треугольники $△ A_{1} O B_{1} triangle cap A sub 1 cap O cap B sub 1$ и $△ A_{2} O B_{2} triangle cap A sub 2 cap O cap B sub 2$ .

$∠ A_{1} O B_{1} = ∠ A_{2} O B_{2} angle cap A sub 1 cap O cap B sub 1 equals angle cap A sub 2 cap O cap B sub 2$ как вертикальные. $∠ B_{1} A_{1} O = ∠ B_{2} A_{2} O angle cap B sub 1 cap A sub 1 cap O equals angle cap B sub 2 cap A sub 2 cap O$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $A_{1} B_{1} cap A sub 1 cap B sub 1$ и $A_{2} B_{2} cap A sub 2 cap B sub 2$ и секущей $A_{1} A_{2} cap A sub 1 cap A sub 2$ .
Таким образом, $△ A_{1} O B_{1} \sim △ A_{2} O B_{2} triangle cap A sub 1 cap O cap B sub 1 tilde triangle cap A sub 2 cap O cap B sub 2$ по двум углам (первый признак подобия).

Шаг 3: Расчет длины отрезка Из подобия треугольников следует, что сходственные стороны пропорциональны: $\frac{A_{1} B_{1}}{A_{2} B_{2}} = \frac{B_{1} O}{O B_{2}} the fraction with numerator cap A sub 1 cap B sub 1 and denominator cap A sub 2 cap B sub 2 end-fraction equals the fraction with numerator cap B sub 1 cap O and denominator cap O cap B sub 2 end-fraction$ Подставим в данное уравнение известные по условию значения $A_{1} B_{1} = 12 cap A sub 1 cap B sub 1 equals 12$ и отношение $B_{1} O ∶ O B_{2} = 3 ∶ 4 cap B sub 1 cap O colon cap O cap B sub 2 equals 3 colon 4$ : $\frac{12}{A_{2} B_{2}} = \frac{3}{4} the fraction with numerator 12 and denominator cap A sub 2 cap B sub 2 end-fraction equals three-fourths$ Используя основное свойство пропорции, вычислим значение $A_{2} B_{2} cap A sub 2 cap B sub 2$ : $3 \cdot A_{2} B_{2} = 12 \cdot 4 3 center dot cap A sub 2 cap B sub 2 equals 12 center dot 4$ $A_{2} B_{2} = \frac{48}{3} = 16 cap A sub 2 cap B sub 2 equals 48 over 3 end-fraction equals 16$ Ответ: Длина отрезка $A_{2} B_{2} cap A sub 2 cap B sub 2$ равна 16 см. Уточните, требуется ли рассмотреть аналогичный случай, если точка $O cap O$ находится вне параллельных плоскостей?

Форма ответа

Другие вопросы по теме «Геометрия»

Вопросы из других предметов