Через вершину а прямоугольного треугольника авс с прямым углом с проведена прямая ad, перпендикулярная к плоскости треугольника. а) докажите что треугольник свd прямоугольный. б) найдите bd, если вс =а, dc=b.

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах и основными свойствами прямоугольных треугольников. а) Доказательство того, что $△CBD$ — прямоугольный

1. Анализ условий:
   • Линия $AD⟂\left(ABC\right)$, следовательно, отрезок $AD$ перпендикулярен любой прямой в плоскости $\left(ABC\right)$, в частности $AD⟂AC$ и $AD⟂AB$. Отрезок $AC$ является проекцией наклонной $DC$ на плоскость $\left(ABC\right)$.
2. Применение теоремы о трех перпендикулярах:
   • По условию $△ABC$ — прямоугольный с прямым углом $C$ ( $\angle ACB={90}^{\circ }$). Это значит, что прямая $BC$ перпендикулярна прямой $AC$ в плоскости треугольника. Так как прямая $BC$ лежит в плоскости $\left(ABC\right)$ и перпендикулярна проекции $AC$, то по теореме о трех перпендикулярах она также перпендикулярна и самой наклонной $DC$.
3. Вывод:
   • Так как $BC⟂DC$, угол $\angle DCB={90}^{\circ }$. Следовательно, треугольник $CBD$ является прямоугольным.

б) Нахождение стороны $BD$ Для нахождения гипотенузы $BD$ рассмотрим прямоугольный треугольник $CBD$, который мы доказали в пункте (а).

1. Определение катетов:
   • Нам дано, что $BC=a$. Нам дано, что $DC=b$.
2. Применение теоремы Пифагора:
   В прямоугольном треугольнике $CBD$ (где $\angle C={90}^{\circ }$) квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
   $B{D}^2=B{C}^2+D{C}^2$ Подстановка значений:
   $B{D}^2=a^2+b^2$ $BD=\sqrt{a^2+b^2}$

Ответ: $BD=\sqrt{a^2+b^2}$ . Я могу помочь вам рассчитать длину других отрезков в этой фигуре (например, $AD$ или $AB$), если вы предоставите дополнительные данные. Хотите продолжить разбор этой задачи?