Высота правильной треугольной пирамиды равна 6, двугранные углы при основании равны 30° .найти площадь боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности пирамиды равна 648. Шаг 1: Нахождение апофемы и радиуса вписанной окружности основания Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, апофемой боковой грани $h_s$ и радиусом вписанной в основание окружности $r$. В этом треугольнике угол между апофемой и её проекцией на основание (радиусом) равен двугранному углу при основании, то есть $\alpha ={30}^{\circ }$. Используя тригонометрические соотношения для высоты $H=6$:

1. Апофема $h_s=\frac{H}{\sin \left({30}^{\circ }\right)}=\frac{6}{0.5}=12$ . Радиус вписанной окружности $r=\frac{H}{\tan \left({30}^{\circ }\right)}=\frac{6}{1/\sqrt{3}}=6\sqrt{3}$ .

Шаг 2: Нахождение стороны основания и периметра Основанием правильной треугольной пирамиды является равносторонний треугольник. Радиус вписанной окружности $r$ связан со стороной основания $a$ формулой $r=\frac{a\sqrt{3}}{6}$ . Выразим и вычислим $a$: $a=\frac{6r}{\sqrt{3}}=\frac{6\cdot 6\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=36$ Периметр основания $P$ равен: $P=3a=3\cdot 36=108$Шаг 3: Вычисление площади боковой поверхности Площадь боковой поверхности $S_{bok}$ правильной пирамиды вычисляется как половина произведения периметра основания на апофему: $S_{bok}=\frac{1}{2}P\cdot h_s=\frac{1}{2}\cdot 108\cdot 12=54\cdot 12=648$ Также это можно проверить через проекцию: $S_{bok}=\frac{S_{osn}}{\cos \left({30}^{\circ }\right)}$ . Площадь основания $S_{osn}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{{36}^2\sqrt{3}}{4}=324\sqrt{3}$ . Тогда $S_{bok}=\frac{324\sqrt{3}}{\sqrt{3}/2}=648$ . Ответ: 648 Хотите ли вы разобрать решение для случая, если бы был задан угол наклона бокового ребра вместо двугранного угла?