Найди длину дуги l

Для нахождения длины дуги кривой выбор формулы зависит от способа задания функции (в декартовых, полярных координатах или параметрически). Ниже приведены основные методы расчета. 1. В декартовых координатах ( $y=f\left(x\right)$) Если кривая задана явным уравнением $y=f\left(x\right)$ на отрезке $[a,b]$, и производная $f^{\prime }\left(x\right)$ непрерывна, длина дуги $L$ вычисляется по формуле: $L={\int }_a^b\sqrt{1+\left(f^{\prime }\right(x){)}^2}dx$ Алгоритм решения:

1. Найти производную функции $y^{\prime }$. Возвести её в квадрат и прибавить единицу. Вычислить определенный интеграл от полученного выражения в заданных пределах.

2. Параметрическое задание ( $x=x\left(t\right),y=y\left(t\right)$) Если координаты точек кривой зависят от параметра $t$, где $t\in [t_1,t_2]$, формула принимает вид: $L={\int }_{t_1}^{t_2}\sqrt{\left(x^{\prime }\right(t){)}^2+(y^{\prime }\left(t\right){)}^2}dt$ Алгоритм решения:

1. Найти производные $x^{\prime }\left(t\right)$ и $y^{\prime }\left(t\right)$. Возвести их в квадрат и сложить. Извлечь корень и проинтегрировать по параметру $t$.

3. В полярных координатах ( $\rho =\rho \left(\varphi \right)$) Если кривая задана зависимостью радиус-вектора $\rho$ от угла $\varphi$ в пределах от $\alpha$ до $\beta$, используется формула: $L={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{{\rho }^2+({\rho }^{\prime }{)}^2}d\varphi$ Алгоритм решения:

1. Найти производную ${\rho }^{\prime }$ по углу $\varphi$. Возвести в квадрат саму функцию $\rho$ и её производную ${\rho }^{\prime }$, затем сложить их. Вычислить интеграл от корня этой суммы.

Пример расчета Найдем длину окружности радиуса $R$, заданной параметрически: $x=R\cos t,y=R\sin t$, где $t\in [0,2\pi ]$.

1. Производные: $x^{\prime }=-R\sin t$, $y^{\prime }=R\cos t$. Подкоренное выражение: $(-R\sin t{)}^2+(R\cos t{)}^2=R^2({\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t)=R^2$. Интеграл:
   $L={\int }_0^{2\pi }\sqrt{R^2}dt={\int }_0^{2\pi }Rdt=R\cdot t{|}_0^{2\pi }=2\pi R$

Если у вас есть конкретное уравнение функции и границы интервала, я могу произвести расчет для вашего случая. Хотите, чтобы я вычислил длину дуги для конкретной функции?