До­ка­жи­те, что в рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке ме­ди­а­ны, про­ве­ден­ные к бо­ко­вым сто­ро­нам, равны.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся признаками равенства треугольников. Дано:

• $△ABC$ — равнобедренный. $AB=BC$ (боковые стороны). $AM$ и $CK$ — медианы, проведенные к боковым сторонам ( $M$ лежит на $BC$, $K$ лежит на $AB$).

Доказать:

• $AM=CK$

Доказательство:

1. Рассмотрим боковые стороны и их половины:
   Так как по условию $AB=BC$, а медианы $AM$ и $CK$ делят эти стороны пополам, то отрезки, на которые они делятся, также равны между собой:
   $AK=KB=BM=MC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}BC$ Следовательно, $AK=MC$. Рассмотрим треугольники $△ABM$ и $△CBK$:
   • Сторона $AB=BC$ (по условию, так как треугольник равнобедренный).
   • Угол $\angle B$ — общий для обоих треугольников.
   • Сторона $BM=BK$ (как половины равных боковых сторон, доказано выше).
   Установим равенство треугольников:
   Согласно первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними):
   $△ABM=△CBK$ Вывод:
   В равных треугольниках соответствующие элементы равны. Следовательно, стороны $AM$ и $CK$ равны как соответствующие стороны этих треугольников.
   $AM=CK$

Альтернативный способ (через основание): Можно рассмотреть треугольники $△AMC$ и $△CKA$:

• Сторона $AC$ — общая.
• Сторона $AK=MC$ (половины боковых сторон).
• Углы $\angle MAC=\angle KCA$ как углы при основании равнобедренного треугольника.
• Следовательно, $△AMC=△CKA$ по первому признаку, откуда $AM=CK$.

Что и требовалось доказать. Могу ли я помочь вам с доказательством других свойств геометрических фигур или решением задач на эту тему?