Формула площади треугольника

Выбор формулы для нахождения площади треугольника зависит от известных исходных данных (стороны, углы, высоты или координаты). Ниже приведены основные способы расчета. 1. Базовая формула (через основание и высоту) Самый распространенный способ, если известна любая сторона и проведенная к ней высота. $S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h_a$ Где:

• $a$ — основание (сторона треугольника);
• $h_a$ — высота, опущенная на эту сторону.

2. Через две стороны и угол между ними Применяется в тригонометрии, когда известны две стороны и величина угла в градусах или радианах. $S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot \sin \gamma$ Где:

• $a,b$ — стороны треугольника;
• $\gamma$ — угол между сторонами $a$ и $b$.

3. Формула Герона Используется, когда известны длины всех трех сторон, но высота неизвестна. $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ Где:

• $a,b,c$ — стороны треугольника;
• $p$ — полупериметр, который вычисляется как $p=\frac{a+b+c}{2}$ .

4. Через радиусы вписанной и описанной окружностей Эти формулы связывают площадь с геометрическими параметрами окружностей, связанных с треугольником.

• Через радиус вписанной окружности ( $r$):
  $S=p\cdot r$(где $p$ — полупериметр) Через радиус описанной окружности ( $R$):
  $S=\frac{a\cdot b\cdot c}{4R}$

5. Частные случаи Для некоторых типов треугольников формулы упрощаются:

• Прямоугольный треугольник:
  $S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b$ (где $a$ и $b$ — катеты) Равносторонний (правильный) треугольник:
  $S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ (где $a$ — сторона треугольника)

6. В координатной плоскости Если треугольник задан координатами своих вершин $A(x_1,y_1)$, $B(x_2,y_2)$ и $C(x_3,y_3)$: $S=\frac{1}{2}\left|x_1\right(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2\left)\right|$ Я могу составить для вас таблицу с примерами расчета по любой из этих формул или решить конкретную задачу, если вы предоставите значения сторон или углов.