Исследовать функцию на экстремум y= x^3 /(x+1)^2

Для исследования функции на экстремум воспользуемся алгоритмом дифференциального исчисления. 1. Область определения функции Функция определена везде, кроме точек, где знаменатель обращается в нуль: $(x+1{)}^2\ne 0⟹x\ne -1$ $D\left(y\right)=(-\infty ;-1)\cup (-1;+\infty )$ 2. Нахождение производной Используем правило дифференцирования частного ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$ : $y^{\prime }=\frac{(x^3{)}^{\prime }\cdot (x+1{)}^2-x^3\cdot \left(\right(x+1{)}^2{)}^{\prime }}{\left(\right(x+1{)}^2{)}^2}$ $y^{\prime }=\frac{3x^2(x+1{)}^2-x^3\cdot 2(x+1)}{(x+1{)}^4}$ Вынесем общий множитель $x^2(x+1)$ за скобки в числителе: $y^{\prime }=\frac{x^2(x+1)\left[3\right(x+1)-2x]}{(x+1{)}^4}$ Сократим на $(x+1)$ (учитывая, что $x\ne -1$): $y^{\prime }=\frac{x^2(3x+3-2x)}{(x+1{)}^3}=\frac{x^2(x+3)}{(x+1{)}^3}$ 3. Критические точки Приравняем производную к нулю для нахождения стационарных точек: $\frac{x^2(x+3)}{(x+1{)}^3}=0$

• $x^2=0⟹{\mathbf{x}}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\mathbf{0}$ $x+3=0⟹{\mathbf{x}}_{\mathbf{2}}\mathbf{=}-3$

Также учтем точку разрыва производной: ${\mathbf{x}}_{\mathbf{3}}\mathbf{=}-1$ (точка разрыва самой функции). 4. Исследование знаков производной Разбиваем числовую прямую на интервалы и определяем знак $y^{\prime }$ на каждом из них:

• При $x=-3$: Производная меняет знак с $+$ на $-$. Это точка локального максимума.
• При $x=0$: Производная не меняет знак (остается $+$). Экстремума в этой точке нет (точка перегиба).
• При $x=-1$: Функция не определена (вертикальная асимптота).

5. Вычисление экстремумов Найдем значение функции в точке максимума: $y_{max}=y\left(-3\right)=\frac{(-3{)}^3}{(-3+1{)}^2}=\frac{-27}{(-2{)}^2}=\frac{-27}{4}=-6.75$ Итоговый результат:

• Точка максимума: $x=-3$, $y=-6.75$ Точек минимума: нет

Я могу также помочь вам найти асимптоты этой функции или точки перегиба. Хотите продолжить исследование?