Как найти медиану в треугольнике по геометрии?

Нахождение медианы треугольника зависит от того, какие исходные данные вам известны: длины всех сторон или координаты вершин на плоскости. 1. По длинам трех сторон (Теорема о медиане) Если известны длины всех сторон треугольника ( $a,b,c$), длину медианы ( $m_a$), проведенной к стороне $a$, можно вычислить по следующей формуле: $m_a=\frac{1}{2}\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}$ Где:

• $m_a$ — медиана, проведенная к стороне $a$. $a$ — сторона, которую медиана делит пополам. $b,c$ — две другие стороны треугольника.

Алгоритм расчета:

1. Возведите в квадрат длины двух сторон, к которым медиана не проводится.
2. Сложите эти квадраты и умножьте сумму на 2.
3. Вычтите из результата квадрат стороны, к которой проведена медиана.
4. Из полученного числа извлеките квадратный корень.
5. Разделите результат на 2.

2. Через координаты вершин Если треугольник задан координатами вершин $A(x_1,y_1)$, $B(x_2,y_2)$ и $C(x_3,y_3)$, нахождение медианы (например, из вершины $A$ к стороне $BC$) происходит в два этапа. Этап 1: Координаты середины стороны Сначала найдите координаты точки $M$ (середины отрезка $BC$): $x_M=\frac{x_2+x_3}{2},y_M=\frac{y_2+y_3}{2}$ Этап 2: Расстояние между точками Медиана — это расстояние между вершиной $A$ и точкой $M$. Используйте формулу расстояния между двумя точками: $AM=\sqrt{(x_M-x_1{)}^2+(y_M-y_1{)}^2}$ 3. Частные случаи В некоторых типах треугольников медиану найти проще:

• Равнобедренный треугольник: Медиана, проведенная к основанию, также является высотой и биссектрисой. Ее можно найти по теореме Пифагора: $m=\sqrt{b^2-(\frac{a}{2}{)}^2}$ , где $b$ — боковая сторона, $a$ — основание. Прямоугольный треугольник: Медиана, проведенная из прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы: $m=\frac{c}{2}$ . Равносторонний треугольник: Все медианы равны и вычисляются по формуле: $m=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ , где $a$ — сторона треугольника.

Свойства медиан для проверки задач

• Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке (центроиде).
• Точка пересечения делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
• Медиана делит треугольник на два треугольника, равных по площади (равновеликих).

Я могу разобрать конкретный пример с вашими числами, если вы предоставите длины сторон или координаты.