Cos^2(п/2 - 3a)-cos^2(п+3a)

Для упрощения выражения ${\cos }^2(\frac{\pi }{2}-3\alpha )-{\cos }^2(\pi +3\alpha )$ воспользуемся формулами приведения и тригонометрическими тождествами. 1. Применение формул приведения Разберем каждый компонент выражения отдельно:

• Первое слагаемое: $\cos (\frac{\pi }{2}-3\alpha )$
  Согласно формулам приведения, функция меняется на кофункцию, если аргумент содержит $\frac{\pi }{2}$ . Так как угол $(\frac{\pi }{2}-3\alpha )$ находится в первой четверти, значение косинуса положительно:
  $\cos (\frac{\pi }{2}-3\alpha )=\sin \left(3\alpha \right)$ Следовательно:
  ${\cos }^2(\frac{\pi }{2}-3\alpha )={\sin }^2\left(3\alpha \right)$ Второе слагаемое: $\cos (\pi +3\alpha )$
  Аргумент содержит $\pi$, поэтому функция не меняется. Угол $(\pi +3\alpha )$ находится в третьей четверти, где косинус отрицателен:
  $\cos (\pi +3\alpha )=-\cos \left(3\alpha \right)$При возведении в квадрат минус исчезает:
  ${\cos }^2(\pi +3\alpha )=(-\cos (3\alpha ){)}^2={\cos }^2(3\alpha )$

2. Подстановка и преобразование Теперь подставим полученные значения обратно в исходное выражение: ${\sin }^2\left(3\alpha \right)-{\cos }^2\left(3\alpha \right)$Данное выражение напоминает формулу косинуса двойного угла: $\cos \left(2x\right)={\cos }^2\left(x\right)-{\sin }^2\left(x\right)$Чтобы привести наше выражение к этому виду, вынесем минус за скобки: $-\left({\cos }^2\right(3\alpha )-{\sin }^2(3\alpha \left)\right)$Применяя формулу двойного угла, где $x=3\alpha$, получаем: $-\cos (2\cdot 3\alpha )=-\cos \left(6\alpha \right)$Ответ: ${\cos }^2(\frac{\pi }{2}-3\alpha )-{\cos }^2(\pi +3\alpha )=-\cos \left(6\alpha \right)$ Я могу также разложить полученный результат по формуле кратного угла или вычислить значение при конкретном $\alpha$, если это необходимо.