Найдите действительные корни уравнения 2x^4+3x^3-8x^2-9x+6=0

Для решения уравнения четвертой степени $2x^4+3x^3-8x^2-9x+6=0$ воспользуемся методом поиска рациональных корней и последующим разложением многочлена на множители. 1. Поиск рациональных корней Согласно теореме о рациональных корнях, потенциальные целые корни являются делителями свободного члена (6), а дробные — отношениями делителей свободного члена к делителям старшего коэффициента (2). Возможные корни: $\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6,\pm 1/2,\pm 3/2$. Проверим некоторые значения подстановкой в уравнение $P\left(x\right)=2x^4+3x^3-8x^2-9x+6$:

• При $x=-2$:
  $2(-2{)}^4+3(-2{)}^3-8(-2{)}^2-9(-2)+6=2(16)+3(-8)-8(4)+18+6=32-24-32+18+6=0$.
  Корень $x_1=-2$ найден. При $x=1/2$:
  $2(1/2{)}^4+3(1/2{)}^3-8(1/2{)}^2-9(1/2)+6=2(1/16)+3(1/8)-8(1/4)-9/2+6=1/8+3/8-2-4.5+6=0.5-2-4.5+6=0$.
  Корень $x_2=1/2$ найден.

2. Разложение на множители Так как $x=-2$ и $x=1/2$ являются корнями, многочлен делится на $(x+2)$ и $(2x-1)$. Перемножим эти скобки: $(x+2)(2x-1)=2x^2+3x-2$. Разделим исходное уравнение $2x^4+3x^3-8x^2-9x+6$ на полученный квадратный трехчлен $2x^2+3x-2$:

1. $(2x^4+3x^3-2x^2)/(2x^2+3x-2)=x^2$ Остаток: $-6x^2-9x+6$ $(-6x^2-9x+6)/(2x^2+3x-2)=-3$

Таким образом, уравнение принимает вид: $(2x^2+3x-2)(x^2-3)=0$3. Нахождение оставшихся корней Решим второе уравнение $x^2-3=0$: $x^2=3⟹x=\pm \sqrt{3}$ Итоговые корни Уравнение имеет четыре действительных корня:

1. $x_1=-2$ $x_2=0.5$ $x_3=\sqrt{3}\approx 1.732$ $x_4=-\sqrt{3}\approx -1.732$

Ответ: $-2;0.5;\sqrt{3};-\sqrt{3}$ . Если вам необходимо, я могу подробно расписать процесс деления многочленов «уголком» или проверить данное уравнение на наличие комплексных корней (в данном случае их нет).