16*(9 в степени х)-25*(12 в степени х)+9*(16 в степени х)=0

Для решения уравнения $16\cdot 9^x-25\cdot {12}^x+9\cdot {16}^x=0$ воспользуемся методом сведения к квадратному уравнению через деление на одну из степеней. 1. Преобразование основания степеней Заметим, что все основания являются квадратами или произведением чисел 3 и 4:

• $9^x=(3^2{)}^x=(3^x{)}^2$ ${16}^x=(4^2{)}^x=(4^x{)}^2$ ${12}^x=(3\cdot 4{)}^x=3^x\cdot 4^x$

Перепишем уравнение: $16\cdot (3^x{)}^2-25\cdot (3^x\cdot 4^x)+9\cdot (4^x{)}^2=0$2. Деление на $(4^x{)}^2$ Это однородное уравнение второго порядка относительно $3^x$ и $4^x$. Разделим обе части уравнения на ${16}^x=(4^x{)}^2$ (так как $4^x\ne 0$ при любых $x$): $\frac{16\cdot (3^x{)}^2}{(4^x{)}^2}-\frac{25\cdot 3^x\cdot 4^x}{(4^x{)}^2}+\frac{9\cdot (4^x{)}^2}{(4^x{)}^2}=0$ После сокращения получаем: $16\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^{2x}-25\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^x+9=0$ 3. Введение новой переменной Пусть $t={\left(\frac{3}{4}\right)}^x$ , где $t>0$. Тогда уравнение принимает вид: $16t^2-25t+9=0$4. Решение квадратного уравнения Находим дискриминант $D$: $D=b^2-4ac=(-25{)}^2-4\cdot 16\cdot 9=625-576=49$ $\sqrt{D}=7$ Находим корни $t$: $t_1=\frac{25+7}{2\cdot 16}=\frac{32}{32}=1$ $t_2=\frac{25-7}{32}=\frac{18}{32}=\frac{9}{16}$ 5. Обратная замена Вернемся к переменной $x$:

1. Первый корень:
   ${\left(\frac{3}{4}\right)}^x=1$ Любое число в нулевой степени равно 1, следовательно:
   $x_1=0$ Второй корень:
   ${\left(\frac{3}{4}\right)}^x=\frac{9}{16}$ Заметим, что $\frac{9}{16}={\left(\frac{3}{4}\right)}^2$ , следовательно:
   ${\left(\frac{3}{4}\right)}^x={\left(\frac{3}{4}\right)}^2$ $x_2=2$

Ответ: $x_1=0$; $x_2=2$. Хотите, чтобы я проверил другое уравнение подобного типа или разобрал более сложный случай с логарифмами?