Решите уравнение. 2cos^2x-5cosx+2=0

Для решения уравнения $2{\cos }^{2}x-5\cos x+2=0$ воспользуемся методом введения новой переменной. 1. Введение замены Пусть $\cos x=t$. Учитывая область значений функции косинус, накладываем ограничение: $\left|t\right|\le 1$ (или $t\in [-1,1]$). 2. Решение квадратного уравнения Подставим $t$ в исходное уравнение: $2t^2-5t+2=0$Найдем дискриминант по формуле $D=b^2-4ac$: $D=(-5{)}^2-4\cdot 2\cdot 2=25-16=9$ $\sqrt{D}=3$ Находим корни уравнения: $t_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{5+3}{4}=\frac{8}{4}=2$ $t_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{5-3}{4}=\frac{2}{4}=0,5$ 3. Обратная замена Проверим корни на соответствие условию $\left|t\right|\le 1$:

1. $t_1=2$: Не подходит, так как $2>1$. Уравнение $\cos x=2$ не имеет решений. $t_2=0,5$: Подходит, так как $|0,5|\le 1$.

Решим уравнение: $\cos x=\frac{1}{2}$ Используя общую формулу для косинуса $x=\pm \arccos \left(a\right)+2\pi k$: $x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k,\text{где}k\in \mathbb{Z}$ Ответ: $x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$ Я могу помочь вам с отбором корней на заданном промежутке или решить другое тригонометрическое уравнение. Желаете продолжить?