Найдите точку максимума функции y=(x+13)^2·e^x-15

Точкой максимума функции $y=(x+13{)}^2\cdot e^{x-15}$ является -15. Шаг 1: Нахождение производной функции Для дифференцирования функции вида $y=u\cdot v$ воспользуемся правилом производной произведения $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$. Пусть $u=(x+13{)}^2$ и $v=e^{x-15}$.

1. Вычислим производную первой части: $u^{\prime }=2(x+13)$. Вычислим производную второй части: $v^{\prime }=e^{x-15}\cdot (x-15{)}^{\prime }=e^{x-15}$.

Запишем общую производную: $y^{\prime }=2(x+13)\cdot e^{x-15}+(x+13{)}^2\cdot e^{x-15}$Шаг 2: Нахождение критических точек Вынесем общий множитель $(x+13)e^{x-15}$ за скобки, чтобы упростить уравнение $y^{\prime }=0$: $y^{\prime }=e^{x-15}(x+13)(2+(x+13\left)\right)=e^{x-15}(x+13)(x+15)$Приравняем производную к нулю: $e^{x-15}(x+13)(x+15)=0$Так как $e^{x-15}$ всегда больше нуля, корнями уравнения являются: $x_1=-13,x_2=-15$Шаг 3: Определение знаков производной и поиск максимума Проанализируем поведение функции на интервалах, подставляя значения в $y^{\prime }$:

1. На промежутке $(-\infty ,-15)$ производная положительна (функция возрастает). На промежутке $(-15,-13)$ производная отрицательна (функция убывает). На промежутке $(-13,+\infty )$ производная положительна (функция возрастает).

Точка максимума — это точка, в которой производная меняет знак с плюса на минус. Это происходит в точке $x=-15$. Ответ: -15 Нужно ли вам рассчитать значение функции в этой точке или найти точку минимума?