Объём тет­ра­эд­ра равен 19. най­ди­те объём мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся се­ре­ди­ны рёбер дан­но­го тет­ра­эд­ра.

Для решения этой задачи воспользуемся методом исключения лишних объемов из исходного тетраэдра. Анализ геометрической конструкции Когда мы соединяем середины всех рёбер тетраэдра, мы фактически отсекаем от каждой его вершины по одному меньшему тетраэдру.

1. Исходный тетраэдр: Обозначим его $V_{total}=19$. Отсекаемые части: У тетраэдра 4 вершины. При соединении середин рёбер в каждой вершине образуется малый тетраэдр. Подобие: Каждый такой малый тетраэдр подобен исходному с коэффициентом подобия $k=\frac{1}{2}$ (так как его рёбра являются средними линиями граней исходного тетраэдра и вдвое меньше соответствующих рёбер оригинала).

Вычисление объемов Отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия: $V_{small}=V_{total}\cdot k^3$Подставим значения:

• $k=\frac{1}{2}$ $k^3=(\frac{1}{2}{)}^3=\frac{1}{8}$

Таким образом, объем каждого из четырех отсекаемых тетраэдров равен: $V_{small}=19\cdot \frac{1}{8}=\frac{19}{8}$ Всего таких тетраэдров четыре (по одному у каждой вершины). Их суммарный объем составляет: $V_{sum\_small}=4\cdot \frac{19}{8}=\frac{19}{2}=9.5$ Итоговый результат Искомый многогранник (который является октаэдром) получается путем вычитания четырех малых тетраэдров из объема исходного тетраэдра: $V_{polyhedron}=V_{total}-V_{sum\_small}$ $V_{polyhedron}=19-9.5=9.5$Ответ: 9,5. Я могу рассчитать объем этого же многогранника, если изменятся условия (например, если будет задана длина ребра или координаты вершин), или помочь с решением аналогичной задачи на комбинации тел.