Решить уравнение 1. 2sin^2x-sinxcosx=cos^2x

Для решения уравнения $2{\sin }^{2}x-\sin x\cos x={\cos }^{2}x$ воспользуемся методом решения однородных тригонометрических уравнений второй степени. 1. Перенос всех слагаемых в одну часть Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы приравнять уравнение к нулю: $2{\sin }^{2}x-\sin x\cos x-{\cos }^{2}x=0$2. Деление на ${\cos }^{2}x$ Заметим, что если $\cos x=0$, то из уравнения следовало бы, что $2{\sin }^{2}x=0$, то есть $\sin x=0$. Однако $\sin x$ и $\cos x$ не могут быть равны нулю одновременно (согласно основному тригонометрическому тождеству ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$). Следовательно, $\cos x\ne 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на ${\cos }^{2}x$: $\frac{2{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}-\frac{\sin x\cos x}{{\cos }^{2}x}-\frac{{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=0$ Используя определение тангенса ( $\text{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}$ ), получаем квадратное уравнение относительно $\text{tg}x$: $2{\text{tg}}^{2}x-\text{tg}x-1=0$3. Решение квадратного уравнения Пусть $t=\text{tg}x$. Тогда уравнение принимает вид: $2t^2-t-1=0$Найдем дискриминант $D$: $D=b^2-4ac=(-1{)}^2-4\cdot 2\cdot (-1)=1+8=9$ $\sqrt{D}=3$ Находим корни $t$:

• $t_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{1+3}{4}=1$ $t_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{1-3}{4}=-\frac{2}{4}=-0.5$

4. Обратная подстановка Теперь решим два простейших тригонометрических уравнения: Случай 1: $\text{tg}x=1$ $x=\frac{\pi }{4}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ Случай 2: $\text{tg}x=-0.5$ $x=\text{arctg}\left(-0.5\right)+\pi k,k\in \mathbb{Z}$Или, используя нечетность арктангенса: $x=-\text{arctg}\left(0.5\right)+\pi k,k\in \mathbb{Z}$Ответ: $x=\frac{\pi }{4}+\pi n$ ; $x=-\text{arctg}\left(0.5\right)+\pi k$, где $n,k\in \mathbb{Z}$. Хотите, чтобы я помог отобрать корни этого уравнения на определенном промежутке?