Решите уравнение 2cos^2x+cosx-6=0

Для решения уравнения $2{\cos }^{2}x+\cos x-6=0$ воспользуемся методом введения новой переменной. 1. Введение переменной Пусть $\cos x=t$. Важно помнить, что область значений функции косинус ограничена: $\left|t\right|\le 1$, то есть $t\in [-1,1]$. 2. Решение квадратного уравнения Подставим $t$ в исходное уравнение: $2t^2+t-6=0$Найдем дискриминант по формуле $D=b^2-4ac$: $D=1^2-4\cdot 2\cdot \left(-6\right)=1+48=49$Корень из дискриминанта: $\sqrt{D}=7$ . Находим корни уравнения $t=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$ :

• $t_1=\frac{-1+7}{2\cdot 2}=\frac{6}{4}=1.5$ $t_2=\frac{-1-7}{2\cdot 2}=\frac{-8}{4}=-2$

3. Анализ полученных корней Теперь проверим корни на соответствие условию $\left|t\right|\le 1$:

• $t_1=1.5$: Данное значение не входит в промежуток $[-1,1]$, так как $1.5>1$. Уравнение $\cos x=1.5$ не имеет решений. $t_2=-2$: Данное значение также не входит в промежуток $[-1,1]$, так как $-2<-1$. Уравнение $\cos x=-2$ не имеет решений.

4. Вывод Поскольку оба корня вспомогательного квадратного уравнения выходят за пределы области значений функции $\cos x$, исходное тригонометрическое уравнение не имеет действительных корней. Ответ: решений нет. Хотите, чтобы я проверил другое тригонометрическое уравнение или помог с разбором аналогичной задачи?