Биссектрисы углов а и в при боковой стороне трапеции авсд пересекаются в точке f. биссектрисы уголов с и д при боковой стороне сд трапеции авсд пересекаются в точке f. биссектрисы уголов с и д при боковой стороне сд пересекаются в точке g.найти fg, если средняя линия трапеции равна 21, а боковые стороны 13 и 15

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами трапеции, биссектрис её углов и средней линии. 1. Анализ треугольников $ABF$ и $CDG$ В любой трапеции сумма углов при боковой стороне равна 180°, так как эти углы являются односторонними при параллельных прямых (основаниях) и секущей (боковой стороне).

• Для стороны $AB$: $\angle A+\angle B={180}^{\circ }$. Так как $AF$ и $BF$ — биссектрисы, то в треугольнике $ABF$:
  $\angle FAB+\angle FBA=\frac{1}{2}\angle A+\frac{1}{2}\angle B=\frac{1}{2}(\angle A+\angle B)=\frac{{180}^{\circ }}{2}={90}^{\circ }$ Следовательно, $\angle AFB={90}^{\circ }$, и треугольник $ABF$ — прямоугольный. Аналогично для стороны $CD$: $\angle C+\angle D={180}^{\circ }$. В треугольнике $CDG$:
  $\angle GCD+\angle GDC=\frac{1}{2}\angle C+\frac{1}{2}\angle D={90}^{\circ }$ Значит, $\angle CGD={90}^{\circ }$, и треугольник $CDG$ — прямоугольный.

2. Положение точек $F$ и $G$ относительно средней линии Пусть $M$ — середина боковой стороны $AB$, а $N$ — середина боковой стороны $CD$. Отрезок $MN$ является средней линией трапеции.

• В прямоугольном треугольнике $ABF$ отрезок $MF$ является медианой, проведенной к гипотенузе $AB$. По свойству медианы прямоугольного треугольника:
  $MF=\frac{1}{2}AB=\frac{13}{2}=6.5$ В прямоугольном треугольнике $CDG$ отрезок $NG$ является медианой, проведенной к гипотенузе $CD$:
  $NG=\frac{1}{2}CD=\frac{15}{2}=7.5$

Важный момент: так как биссектрисы углов при боковой стороне пересекаются в точке, равноудаленной от оснований, точки $F$ и $G$ лежат на средней линии трапеции (или на её продолжении). 3. Вычисление длины отрезка $FG$ Средняя линия трапеции $MN$ по условию равна 21. Отрезки $MF$ и $NG$ лежат на этой линии. Возможны два случая расположения точек (внутри трапеции или с наложением), но стандартно для таких задач точки $F$ и $G$ находятся "внутри" средней линии относительно концов $M$ и $N$. Длина всей средней линии складывается из отрезков следующим образом: $MN=MF+FG+GN$Подставим известные значения: $21=6.5+FG+7.5$ $21=14+FG$ $FG=21-14=7$Ответ: 7. Хотите, чтобы я проверил решение аналогичной задачи, где биссектрисы пересекаются вне трапеции?