Через центр окружности, вписанной в трапецию, проведена прямая, параллельная основаниям. докажите, что отрезок этой прямой, заключенный между боковыми сторонами, равен четверти периметра трапеции.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся свойствами описанной трапеции и свойствами средней линии. 1. Свойства трапеции, в которую вписана окружность Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=a$ и $BC=b$ и боковыми сторонами $AB=c$ и $CD=d$. По определению вписанной окружности:

• Свойство описанного четырехугольника: Суммы противоположных сторон равны.
  $a+b=c+d$ Периметр ( $P$): Сумма всех сторон трапеции.
  $P=a+b+c+d=2(a+b)$Отсюда следует, что четверть периметра равна:
  $\frac{P}{4}=\frac{a+b}{2}$

2. Свойства центра вписанной окружности Центр вписанной окружности (точка $O$) является точкой пересечения биссектрис всех углов трапеции. Расстояние от центра окружности до оснований равно радиусу $r$. Следовательно, прямая, проходящая через точку $O$ параллельно основаниям, является средней линией трапеции (так как она равноудалена от оснований). 3. Анализ отрезка прямой Пусть отрезок, проходящий через точку $O$ параллельно основаниям и ограниченный боковыми сторонами, — это $MN$ (где $M\in AB,N\in CD$). Так как $MN$ параллельна основаниям и проходит через точку $O$, которая делит высоту трапеции пополам, то $MN$ является средней линией трапеции. По свойству средней линии трапеции: $MN=\frac{a+b}{2}$ 4. Сопоставление результатов Мы получили два выражения:

1. Четверть периметра: $\frac{P}{4}=\frac{a+b}{2}$ Длина отрезка $MN$: $MN=\frac{a+b}{2}$

Следовательно: $MN=\frac{P}{4}$ Вывод: Отрезок прямой, параллельной основаниям и проходящей через центр вписанной окружности, равен полусумме оснований. Поскольку в описанной трапеции сумма оснований равна половине периметра, то этот отрезок равен четверти периметра. Что и требовалось доказать. Хотите, чтобы я разобрал аналогичную задачу, где требуется найти площадь такой трапеции через радиус и периметр?