Исследование функции у=4х-х^2

Для полного исследования функции $y=4x-x^2$ (квадратичная парабола) воспользуемся стандартным алгоритмом. 1. Область определения и область значений

• Область определения ( $D\left(f\right)$): Функция является многочленом, поэтому она определена при любом значении $x$.
  $D\left(f\right)=(-\infty ;+\infty )$ Область значений ( $E\left(f\right)$): Так как коэффициент при $x^2$ отрицательный ( $a=-1$), ветви параболы направлены вниз. Максимум функции достигается в вершине.
  $E\left(f\right)=(-\infty ;4]$

2. Четность и периодичность

• Проверим условие $f(-x)$:
  $f(-x)=4(-x)-(-x{)}^2=-4x-x^2$
  $f(-x)\ne f\left(x\right)$ и $f(-x)\ne -f\left(x\right)$.
  Функция ни четная, ни нечетная (общего вида). Функция непериодическая.

3. Точки пересечения с осями координат

• С осью $OY$ (при $x=0$):
  $y=4\left(0\right)-0^2=0$. Точка $(0;0)$. С осью $OX$ (при $y=0$):
  $4x-x^2=0x(4-x)=0$
  $x_1=0$, $x_2=4$. Точки $(0;0)$ и $(4;0)$.

4. Производная и критические точки Найдем производную функции: $y^{\prime }=(4x-x^2{)}^{\prime }=4-2x$Приравняем производную к нулю для поиска критических точек: $4-2x=0x=2$ 5. Промежутки монотонности и экстремумы Определим знаки производной на интервалах:

• При $x<2$: $y^{\prime }>0$ — функция возрастает. При $x>2$: $y^{\prime }<0$ — функция убывает.

В точке $x=2$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка максимума.

• $x_{max}=2$
• $y_{max}=4\left(2\right)-2^2=8-4=4$
  Вершина параболы находится в точке $(2;4)$.

6. Вторая производная и выпуклость Найдем вторую производную: $y^{\prime \prime }=(4-2x{)}^{\prime }=-2$Так как $y^{\prime \prime }<0$ на всей области определения, график функции всегда выпуклый вверх (вогнутый). Точек перегиба нет. 7. Сводная таблица характерных точек

Я могу составить таблицу значений по конкретным точкам для построения графика, если это необходимо.