Найти наибольшее четырёхзначное число, кратное 11, у которого произведение его цифр равно 12

Для решения задачи необходимо найти наибольшее четырехзначное число $\overline{abcd}$ , которое удовлетворяет трем условиям:

1. Произведение цифр: $a\cdot b\cdot c\cdot d=12$ Кратность 11: Число делится на 11 без остатка. Максимизация: Число должно быть максимально возможным.

1. Разложение произведения на множители Разложим число 12 на четыре однозначных множителя (цифры от 0 до 9). Так как произведение не равно нулю, цифра 0 исключена. Возможные наборы цифр:

• $\{6,2,1,1\}$ $\{4,3,1,1\}$ $\{3,2,2,1\}$

2. Признак делимости на 11 Число делится на 11, если переменная сумма его цифр $(a-b+c-d)$ кратна 11. Для четырехзначного числа это означает: $(a+c)-(b+d)=11\cdot k,\text{где}k\in \{-1,0,1\}$Поскольку сумма цифр во всех наборах невелика (максимум $6+2+1+1=10$), разность $(a+c)-(b+d)$ может быть равна только 0. Следовательно: $a+c=b+d$3. Проверка наборов цифр Чтобы найти наибольшее число, будем проверять наборы, начиная с тех, где есть самая большая цифра на первой позиции ( $a$). Набор $\{6,2,1,1\}$: Сумма всех цифр: $6+2+1+1=10$. Если $a+c=b+d$, то каждая пара должна давать в сумме $10/2=5$.

• Пары, дающие 5: $(4,1)$ или $(3,2)$. В данном наборе таких пар нет. Вывод: Из этого набора составить число нельзя.

Набор $\{4,3,1,1\}$: Сумма всех цифр: $4+3+1+1=9$. Сумма нечетная, разделить на две равные целые части невозможно.

• Вывод: Из этого набора составить число нельзя.

Набор $\{3,2,2,1\}$: Сумма всех цифр: $3+2+2+1=8$. Для делимости на 11 нужно, чтобы $a+c=4$ и $b+d=4$. Составим возможные комбинации пар, дающих в сумме 4:

• Вариант 1: $\{3,1\}$ и $\{2,2\}$ Вариант 2: $\{2,2\}$ и $\{3,1\}$

Чтобы число было наибольшим, на позиции тысяч ( $a$) должна стоять самая большая цифра из возможных.

1. Пробуем $a=3$. Тогда из условия $a+c=4$ следует $c=1$. Оставшиеся цифры для $b$ и $d$ — это $\{2,2\}$. Получаем число: 3212.

Проверка:

• Произведение: $3\cdot 2\cdot 1\cdot 2=12$ (верно). Делимость на 11: $3-2+1-2=0$ (верно, $3212/11=292$).

Если попробовать поставить 2 на первое место, число будет меньше 3212. Других комбинаций цифр, дающих в произведении 12, нет. Ответ: 3212 Я могу также помочь вам найти числа с другими свойствами или разобрать более сложные задачи на признаки делимости. Хотите проверить другое условие?