Най­ди­те ве­ли­чи­ну (в гра­ду­сах) впи­сан­но­го угла α, опи­ра­ю­ще­го­ся на хорду ab, рав­ную ра­ди­у­су окруж­но­сти.

Величина вписанного угла $\alpha$, опирающегося на хорду $AB$, которая равна радиусу окружности ( $R$), зависит от того, с какой стороны от хорды лежит вершина этого угла. 1. Острый вписанный угол (вершина в большей дуге) Если вершина угла $\alpha$ и центр окружности лежат по одну сторону от хорды (или если угол опирается на меньшую дугу):

• Центральный угол: Проведем радиусы $OA$ и $OB$ к концам хорды. В треугольнике $AOB$ стороны $OA=OB=R$ (радиусы), а по условию хорда $AB=R$. Тип треугольника: Треугольник $AOB$ — равносторонний, так как все его стороны равны $R$. Следовательно, все его внутренние углы, включая центральный угол $AOB$, равны ${60}^{\circ }$. Свойство вписанного угла: Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Расчет: $\alpha =\frac{1}{2}\cdot \angle AOB=\frac{1}{2}\cdot {60}^{\circ }={30}^{\circ }$ .

2. Тупой вписанный угол (вершина в меньшей дуге) Если вершина угла лежит на меньшей дуге (с другой стороны от хорды):

• Такой угол опирается на дугу, дополняющую меньшую дугу до полной окружности ( ${360}^{\circ }-{60}^{\circ }={300}^{\circ }$). Свойство: Вписанный угол, опирающийся на ту же хорду, но с другой стороны, дополняет острый угол до ${180}^{\circ }$. Расчет: $\alpha ={180}^{\circ }-{30}^{\circ }={150}^{\circ }$.

Ответ: В большинстве школьных задач под $\alpha$ подразумевается острый угол, равный ${30}^{\circ }$. Если в условии допустим тупой угол, то его величина составляет ${150}^{\circ }$.