Найти экстремумы функции f(x)=x^3-3x^2

Для нахождения экстремумов функции $f\left(x\right)=x^3-3x^2$ необходимо выполнить стандартный алгоритм дифференциального исчисления: найти производную, определить критические точки и исследовать их характер. 1. Нахождение производной функции Для начала найдем производную функции $f\left(x\right)$ по правилу дифференцирования степенной функции: $f^{\prime }\left(x\right)=(x^3{)}^{\prime }-(3x^2{)}^{\prime }=3x^2-6x$2. Определение критических точек Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. В данном случае приравняем $f^{\prime }\left(x\right)$ к нулю: $3x^2-6x=0$Вынесем общий множитель за скобки: $3x(x-2)=0$Отсюда получаем два корня:

• $x_1=0$ $x_2=2$

3. Определение характера экстремумов Чтобы понять, является ли точка максимумом или минимумом, воспользуемся второй производной: $f^{\prime \prime }\left(x\right)=(3x^2-6x{)}^{\prime }=6x-6$Подставим критические точки во вторую производную:

• Для $x_1=0$:
  $f^{\prime \prime }\left(0\right)=6\left(0\right)-6=-6$Так как $f^{\prime \prime }\left(0\right)<0$, то в точке $x=0$ функция имеет локальный максимум. Для $x_2=2$:
  $f^{\prime \prime }\left(2\right)=6\left(2\right)-6=6$Так как $f^{\prime \prime }\left(2\right)>0$, то в точке $x=2$ функция имеет локальный минимум.

4. Вычисление значений функции в точках экстремума Найдем ординаты (значения $y$) для полученных точек, подставив их в исходное уравнение $f\left(x\right)=x^3-3x^2$:

• Максимум:
  $f\left(0\right)=0^3-3(0{)}^2=0$Точка максимума: $(0;0)$ Минимум:
  $f\left(2\right)=2^3-3(2{)}^2=8-12=-4$Точка минимума: $(2;-4)$

Итоговый результат:

• Точка локального максимума: $(0;0)$ Точка локального минимума: $(2;-4)$

Хотите, чтобы я нашел точки перегиба для этой функции?