В прямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность, радиус которой равен 2корень3 см. найдите площадь этого треугольника.

Площадь треугольника составляет $36+24\sqrt{3}$ ${\text{см}}^2$. 1. Определение соотношений между сторонами Рассмотрим прямоугольный треугольник с углами ${90}^{\circ }$, ${60}^{\circ }$ и ${30}^{\circ }$. Пусть $a$ — катет, лежащий против угла ${30}^{\circ }$, $b$ — катет, лежащий против угла ${60}^{\circ }$, а $c$ — гипотенуза. Используя тригонометрические функции, выразим все стороны через $a$:

• Гипотенуза: $c=\frac{a}{\sin {30}^{\circ }}=2a$ . Второй катет: $b=a\cdot \tan {60}^{\circ }=a\sqrt{3}$ .

2. Нахождение сторон через радиус вписанной окружности Для прямоугольного треугольника радиус вписанной окружности $r$ вычисляется по формуле: $r=\frac{a+b-c}{2}$ Подставим известные выражения для сторон и значение радиуса $r=2\sqrt{3}$ : $2\sqrt{3}=\frac{a+a\sqrt{3}-2a}{2}$ $4\sqrt{3}=a\sqrt{3}-a$ $4\sqrt{3}=a(\sqrt{3}-1)$ Теперь найдем $a$, избавившись от иррациональности в знаменателе: $a=\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}=\frac{4\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}=\frac{4(3+\sqrt{3})}{3-1}=\frac{12+4\sqrt{3}}{2}=6+2\sqrt{3}\text{см}$ 3. Вычисление площади треугольника Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: $S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b=\frac{1}{2}\cdot a\cdot \left(a\sqrt{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}{a}^2$ Подставим значение $a=2(3+\sqrt{3})$ : $a^2=\left[2\right(3+\sqrt{3}){]}^2=4(9+6\sqrt{3}+3)=4(12+6\sqrt{3})=48+24\sqrt{3}$ Теперь вычислим итоговую площадь: $S=\frac{\sqrt{3}}{2}(48+24\sqrt{3})=24\sqrt{3}+12\cdot 3=36+24\sqrt{3}{\text{см}}^2$ Ответ Площадь треугольника равна $36+24\sqrt{3}$ ${\text{см}}^2$. Нужно ли вам перевести это значение в десятичную дробь для приближенного расчета?