Высота конуса равна 10см. найдите площадь сечения, проходящего через вершину конуса и хорду основания, стягивающую дугу 60градусов, если плоскость сечения образует с плоскостью основания конуса 30градусов.

Question

Высота конуса равна 10см. найдите площадь сечения, проходящего через вершину конуса и хорду основания, стягивающую дугу 60градусов, если плоскость сечения образует с плоскостью основания конуса 30градусов.

PhantomVic 09.02.2026 05:25

Ответы и вопросы пользователей

Смирнов Алексей Владимирович · Accepted Answer

Площадь сечения конуса равна 200 $с м^{2} с м squared$ . ️ Шаг 1: Анализ геометрической конструкции Пусть $S cap S$ — вершина конуса, $O cap O$ — центр его основания, а $H = S O = 10 cap H equals cap S cap O equals 10$ см — высота. Сечение представляет собой равнобедренный треугольник $S A B cap S cap A cap B$ , где $A B cap A cap B$ — хорда основания. Опустим перпендикуляр $O M cap O cap M$ из центра основания на хорду $A B cap A cap B$ . Точка $M cap M$ является серединой $A B cap A cap B$ . По теореме о трех перпендикулярах $S M ⟂ A B cap S cap M ⟂ cap A cap B$ , следовательно, $S M cap S cap M$ — высота треугольника $S A B cap S cap A cap B$ , а угол $∠ S M O angle cap S cap M cap O$ — это угол между плоскостью сечения и плоскостью основания, который по условию равен $30^{\circ} 30 raised to the composed with power$ . ️ Шаг 2: Нахождение апофемы сечения и расстояния до хорды Рассмотрим прямоугольный треугольник $S O M cap S cap O cap M$ (где $∠ S O M = 90^{\circ} angle cap S cap O cap M equals 90 raised to the composed with power$ ):

Найдем высоту сечения $S M cap S cap M$ :
$S M = \frac{S O}{\sin (30^{\circ})} = \frac{10}{1 / 2} = 20 см cap S cap M equals the fraction with numerator cap S cap O and denominator sine open paren 30 raised to the composed with power close paren end-fraction equals the fraction with numerator 10 and denominator 1 / 2 end-fraction equals 20 см$ Найдем расстояние от центра основания до хорды $O M cap O cap M$ :
$O M = \frac{S O}{\tan (30^{\circ})} = \frac{10}{1 / \sqrt{3}} = 10 \sqrt{3} см cap O cap M equals the fraction with numerator cap S cap O and denominator tangent open paren 30 raised to the composed with power close paren end-fraction equals the fraction with numerator 10 and denominator 1 / the square root of 3 end-root end-fraction equals 10 the square root of 3 end-root см$

️ Шаг 3: Нахождение длины хорды AB Хорда $A B cap A cap B$ стягивает дугу в $60^{\circ} 60 raised to the composed with power$ , значит, центральный угол $∠ A O B = 60^{\circ} angle cap A cap O cap B equals 60 raised to the composed with power$ . Треугольник $A O B cap A cap O cap B$ является равнобедренным ( $O A = O B = R cap O cap A equals cap O cap B equals cap R$ ), а так как угол при вершине равен $60^{\circ} 60 raised to the composed with power$ , он равносторонний. Следовательно, $A B = R cap A cap B equals cap R$ . В треугольнике $A O B cap A cap O cap B$ отрезок $O M cap O cap M$ является высотой. Используя свойства равностороннего треугольника или тригонометрию в $△ O A M triangle cap O cap A cap M$ ( $∠ A O M = 30^{\circ} angle cap A cap O cap M equals 30 raised to the composed with power$ ): $O M = R \cdot \cos (30^{\circ}) 10 \sqrt{3} = R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} cap O cap M equals cap R center dot cosine open paren 30 raised to the composed with power close paren implies 10 the square root of 3 end-root equals cap R center dot the fraction with numerator the square root of 3 end-root and denominator 2 end-fraction$ Отсюда радиус и длина хорды: $R = 20 см, A B = 20 см cap R equals 20 см comma space cap A cap B equals 20 см$ ️ Шаг 4: Вычисление площади сечения Площадь треугольника $S A B cap S cap A cap B$ вычисляется по формуле: $S_{S A B} = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot S M cap S sub cap S cap A cap B end-sub equals one-half center dot cap A cap B center dot cap S cap M$ Подставим найденные значения: $S_{S A B} = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 20 = 200 {см}^{2} cap S sub cap S cap A cap B end-sub equals one-half center dot 20 center dot 20 equals 200 см squared$ Ответ: Площадь сечения составляет 200 $с м^{2} с м squared$ . Требуется ли вам рассчитать объем этого конуса или площадь его боковой поверхности на основе найденного радиуса?

Форма ответа

Другие вопросы по теме «Геометрия»

Вопросы из других предметов