Найти точки экстремума и интервалы монотонности функции: у=х^2-4х+5

Функция убывает на промежутке $(-\infty ;2]$, возрастает на промежутке $[2;+\infty )$, точка минимума — $\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{2}$, минимум функции равен $\mathbf{y}\mathbf{=}\mathbf{1}$. Шаг 1: Нахождение производной функции Для исследования функции на монотонность и экстремумы необходимо найти её первую производную. Используем правила дифференцирования степенной функции: $y^{\prime }=(x^2-4x+5{)}^{\prime }=2x-4$Шаг 2: Определение критических точек Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. В данном случае производная определена на всей числовой прямой. Приравняем её к нулю: $2x-4=0$ $2x=4$ $x=2$Точка x = 2 разделяет область определения функции на два интервала. Шаг 3: Исследование интервалов монотонности Определим знак производной $y^{\prime }=2x-4$ на каждом из полученных интервалов:

1. На интервале $(-\infty ;2)$: возьмем $x=0$, тогда $y^{\prime }\left(0\right)=2\left(0\right)-4=-4<0$. Так как производная отрицательна, функция убывает. На интервале $(2;+\infty )$: возьмем $x=3$, тогда $y^{\prime }\left(3\right)=2\left(3\right)-4=2>0$. Так как производная положительна, функция возрастает.

Шаг 4: Нахождение точек экстремума Так как в точке $x=2$ производная меняет знак с минуса на плюс, эта точка является точкой минимума. Найдем значение функции в этой точке: $y\left(2\right)=2^2-4\cdot 2+5=4-8+5=1$Таким образом, точка минимума имеет координаты $(2;1)$. Ответ: Интервалы убывания: $(-\infty ;2]$, интервалы возрастания: $[2;+\infty )$. Точка минимума: $x=2$ (минимум функции $y=1$). Хотите ли вы рассмотреть построение графика этой функции или найти координаты точек пересечения с осями координат?