Sabcd- правильная четырёхугольная пирамида, длина каждого ребра равна 2 см, точка о - середина ребра dc. постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку о перпендикулярно прямой sc. вычислите периметр этого сечения.

Периметром сечения является величина $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ см. 1. Построение сечения Пусть $SABCD$ — правильная четырёхугольная пирамида. Поскольку длины всех рёбер равны $2$ см, боковые грани являются правильными (равносторонними) треугольниками.

1. Точка $O$ — середина ребра $CD$. В плоскости грани $SCD$ проведём прямую $OK⟂SC$ (где $K\in SC$). Так как $△SCD$ равносторонний со стороной $2$ см, угол $\angle SCD={60}^{\circ }$. В прямоугольном $△OKC$:
   $CK=CO\cdot \cos {60}^{\circ }=1\cdot \frac{1}{2}=0,5\text{см}$ В плоскости грани $SBC$ отметим точку $L$ — середину ребра $BC$. Проведём отрезок $LK$. Рассмотрим $△LKC$: $CL=1$ см, $CK=0,5$ см, $\angle LCB={60}^{\circ }$. По теореме косинусов или через проекцию: так как $CK=CL\cos {60}^{\circ }$, то $△LKC$ — прямоугольный ( $\angle LKC={90}^{\circ }$), следовательно, $LK⟂SC$. Так как прямая $SC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $OK$ и $LK$ плоскости $OKL$, то $SC⟂\left(OKL\right)$. Треугольник $OKL$ — искомое сечение.

2. Вычисление длин сторон сечения Для нахождения периметра $P=OK+KL+LO$ вычислим каждую сторону:

1. Сторона $LO$:
   В основании пирамиды (квадрате $ABCD$) точки $L$ и $O$ — середины соседних сторон $BC$ и $CD$. Из прямоугольного $△LCO$ ( $LC=1,CO=1$):
   $LO=\sqrt{L{C}^2+C{O}^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\text{см}$ Сторона $OK$:
   В прямоугольном $△OKC$ ( $\angle K={90}^{\circ }$):
   $OK=CO\cdot \sin {60}^{\circ }=1\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\text{см}$ Сторона $KL$:
   В прямоугольном $△LKC$ ( $\angle K={90}^{\circ }$):
   $KL=CL\cdot \sin {60}^{\circ }=1\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\text{см}$

3. Нахождение периметра Сложим полученные значения: $P=\sqrt{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{2}+\sqrt{3}\text{см}$ Ответ Периметр сечения пирамиды равен $\sqrt{\mathbf{2}}\mathbf{+}\sqrt{\mathbf{3}}$ см. Сообщите, требуется ли вам координатный метод проверки перпендикулярности или расчет площади данной фигуры?