В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. на окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки c и d , а на окружности другого - d1 и f1 , причем dd1 - образующая цилиндра, а отрезок cf1 пересекает ось цилиндра. найдите расстояние d от точки d до прямой cf1 , если cd=12 , dd1=15 , d1f1=16 . в ответе укажите значение выражения d481√ .

Для решения задачи введем систему координат или воспользуемся геометрическими свойствами цилиндра. 1. Анализ условий и расположения точек

• Так как $D{D}_1$ — образующая и она перпендикулярна основанию, перед нами прямой круговой цилиндр. Его высота $H=D{D}_1=15$. Точки $C$ и $D$ лежат на окружности нижнего основания. Хорда $CD=12$. Точки $D_1$ и $F_1$ лежат на окружности верхнего основания. Хорда $D_1{F}_1=16$. Поскольку $D{D}_1$ — образующая, точка $D$ проецируется точно в $D_1$. Следовательно, радиус цилиндра $R$ можно найти через треугольники в основаниях. Однако ключевым условием является то, что отрезок $C{F}_1$ пересекает ось цилиндра. Отрезок пересекает ось цилиндра тогда и только тогда, когда его проекция на плоскость основания является диаметром этого основания. Обозначим проекцию точки $F_1$ на нижнее основание как $F$. Тогда $CF$ — диаметр окружности, и треугольник $CDF$ — прямоугольный ( $\angle CDF={90}^{\circ }$, так как он опирается на диаметр).

2. Нахождение радиуса и координат

• В прямоугольном $△CDF$: $CD=12$. Отрезок $DF$ равен хорде $D_1{F}_1$ (так как $D_1{F}_1$ и $DF$ — проекции одного и того же расстояния между образующими), значит $DF=16$. Диаметр основания $CF=\sqrt{C{D}^2+D{F}^2}=\sqrt{{12}^2+{16}^2}=\sqrt{144+256}=20$ . Радиус $R=10$.

3. Введение системы координат Пусть центр нижнего основания — $O(0,0,0)$.

• Точка $C$ (на диаметре): $C(-10,0,0)$. Точка $F$ (на диаметре): $F(10,0,0)$. Тогда $F_1(10,0,15)$. Для точки $D(x,y,0)$: она лежит на окружности ( $x^2+y^2=100$) и $CD=12$.
  Расстояние $C{D}^2=(x+10{)}^2+y^2=144$.
  Подставим $y^2=100-x^2$:
  $x^2+20x+100+100-x^2=14420x=-56x=-2.8$.
  Тогда $y^2=100-(-2.8{)}^2=100-7.84=92.16y=9.6$.
  Итого: $D(-2.8;9.6;0)$.

4. Нахождение расстояния от точки до прямой Прямая $C{F}_1$ проходит через $C(-10,0,0)$ и $F_1(10,0,15)$. Направляющий вектор прямой $\vec{a}=\overrightarrow{C{F}_1}=(20,0,15)$. Можно сократить до $(4,0,3)$. Вектор $\overrightarrow{CD}=(D_x-C_x,D_y-C_y,D_z-C_z)=(-2.8+10,9.6,0)=(7.2,9.6,0)$. Расстояние $d$ от точки $D$ до прямой $C{F}_1$ вычисляется по формуле: $d=\frac{|\overrightarrow{CD}\times \vec{a}|}{\left|\vec{a}\right|}$

• Векторное произведение $\overrightarrow{CD}\times \vec{a}$:
  $\vec{i}(9.6\cdot 3-0)-\vec{j}(7.2\cdot 3-0)+\vec{k}(7.2\cdot 0-9.6\cdot 4)=(28.8,-21.6,-38.4)$. Модуль произведения: $\sqrt{{28.8}^2+(-21.6{)}^2+(-38.4{)}^2}=\sqrt{829.44+466.56+1474.56}=\sqrt{2770.56}=52.64$ (или $9.6\cdot \sqrt{3^2+{2.25}^2+4^2}=9.6\cdot 5.483\dots$ ).
  Точнее: $28.8=\frac{144}{5}$ , $21.6=\frac{108}{5}$ , $38.4=\frac{192}{5}$ .
  $|\overrightarrow{CD}\times \vec{a}|=\frac{1}{5}\sqrt{{144}^2+{108}^2+{192}^2}=\frac{1}{5}\sqrt{20736+11664+36864}=\frac{\sqrt{69264}}{5}=\frac{12\sqrt{481}}{5}$ . Модуль направляющего вектора: $\left|\vec{a}\right|=\sqrt{4^2+0^2+3^2}=5$ . Расстояние $d=\frac{12\sqrt{481}/5}{5}=\frac{12\sqrt{481}}{25}$ .

5. Вычисление итогового выражения Необходимо найти значение $d\cdot \frac{481}{\sqrt{481}}$ (исходя из условия $d\sqrt{481}$ или похожего формата, в вопросе указано $d\sqrt{481}$ ): В тексте вопроса просят «значение выражения $d\sqrt{481}$ ». $d\sqrt{481}=\frac{12\sqrt{481}}{25}\cdot \sqrt{481}=\frac{12\cdot 481}{25}=\frac{5772}{25}=230.88$ . Если в условии подразумевалось выражение $\frac{d\cdot 481}{\sqrt{481}}$ (что равно $d\sqrt{481}$ ), ответ ниже. Ответ: 230.88