Основание прямой призмы — треугольник со сторонами 5 см и 3 см и углом равным 120° между ними. наибольшая из площадей боковых граней равна 56 см^2. найти площадь полной поверхности призмы.

Площадь полной поверхности призмы составляет $120+7,5\sqrt{3}$ ${\text{см}}^2$ (приблизительно $133$ ${\text{см}}^2$). ️ Шаг 1: Нахождение третьей стороны основания Основанием призмы является треугольник со сторонами $a=5$ см, $b=3$ см и углом $\gamma ={120}^{\circ }$ между ними. По теореме косинусов найдем третью сторону $c$: $c=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos \gamma }$ $c=\sqrt{5^2+3^2-2\cdot 5\cdot 3\cdot \cos {120}^{\circ }}=\sqrt{25+9-30\cdot (-0,5)}=\sqrt{34+15}=\sqrt{49}=\mathbf{7}\text{см}$ ️ Шаг 2: Определение высоты призмы Боковые грани прямой призмы — прямоугольники. Их площади равны $aH$, $bH$ и $cH$. Так как $c=7$ см — наибольшая сторона основания, то грань с этой стороной имеет наибольшую площадь: $S_{max}=c\cdot H=56{\text{см}}^2$ $H=\frac{56}{7}=\mathbf{8}\text{см}$ ️ Шаг 3: Вычисление площадей поверхностей

1. Площадь основания $S_{осн}$ через синус угла:
   $S_{осн}=\frac{1}{2}ab\sin \gamma =\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 3\cdot \sin {120}^{\circ }=\frac{15}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\mathbf{3}\mathbf{,}75\sqrt{\mathbf{3}}{\text{см}}^2$ Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ через периметр основания $P$:
   $P=5+3+7=15\text{см}$ $S_{бок}=P\cdot H=15\cdot 8=120{\text{см}}^2$ Площадь полной поверхности $S_{полн}$:
   $S_{полн}=2S_{осн}+S_{бок}=2\cdot 3,75\sqrt{3}+120=120\mathbf{+}\mathbf{7}\mathbf{,}\mathbf{5}\sqrt{\mathbf{3}}{\text{см}}^2$

Ответ: $120+7,5\sqrt{3}$ ${\text{см}}^2$ (или около $132,99$ ${\text{см}}^2$) Нужно ли рассчитать объем этой призмы или помочь с решением похожей задачи на произвольную наклонную призму?